Nestas palestras, introduziremos os principais conceitos e resultados básicos relacionados a construções min-max de hipersuperfícies mínimas em variedades Riemannianas compactas. Inspirados pelo trabalho de Birkhoff sobre a existência de geodésicas fechadas simples em esferas Riemannianas bidimensionais, Almgren e Pitts desenvolveram, em meados das décadas de 60 a 80, esse método de construção, que consiste na aplicação de técnicas variacionais para o funcional área.

 

Em seguida, discutiremos sobre a existência de hipersuperfícies mínimas em variedades não-compactas. Em particular, apresentaremos uma nova teoria min-max que é capaz de produzir hipersuperfícies mínimas que intersectam um domínio côncavo (concavidade relativa à curvatura média do bordo) previamente fixado. 

 

Finalizamos com a construção de métricas Riemannianas de curvatura escalar maior do que ou igual a 6 e widths arbitrariamente grandes na esfera tridimensional. Nesse contexto, a width é o principal invariante min-max que estudaremos. A existência de métricas com tais propriedades é motivada pelo teorema de rigidez de esferas min-max em variedades tridimensionais obtido por F. Codá Marques e A. Neves.