Introdução aos Sistemas Dinâmicos
CÓDIGO: MAT 123
DISCIPLINA: Introdução aos Sistemas Dinâmicos
NÚMERO DE CRÉDITOS: 4 créditos
CARGA HORÁRIA:
- Teórica (por semana): 6
- Prática (por semana): 2
- Total: 60 horas
EMENTA:
Dinâmica no intervalo ou no círculo. Teorema de Sharkovsky. Transformações quadráticas. Teoria de Denjoy. Difeomorfismos genéricos do círculo. Exemplos de dinâmica hiperbólica: Transformações expansoras. Shifts. Ferradura de Smale. Automorfismos lineares. Sistemas de Anosov. Solenóide. Elementos de teoria ergódica. Teorema de recorrência de Poincaré. Teorema ergódico de Birkhoff. Medidas invariantes absolutamente contínuas. Elementos de dinâmica conservativa: fluxo geodésico em superfícies Bilhares. Elementos de dinâmica complexa. Transformações polinomiais e racionais da esfera. Famílias normais. Conjunto de Fatou e conjunto de Julia.
BIBLIOGRAFIA:
- DEVANEY, R. L. - An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Second Edition, Perseus Publishing Co., 1989.
- ROBINSON, C. - Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. Second Edition, Studies in Advanced Mathematics, 1998.
- PALIS, J. & de MELO, W. - Introdução aos Sistemas Dinâmicos. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1978.
- HASSELBLATT, B. & KATOK, A. - A First Course in Dynamics: with a Panorama of Recent Developments. Cambridge University Press, 2003.
Introdução à Teoria Ergódica
CÓDIGO: MAT 116
DISCIPLINA: Introdução à Teoria Ergódica
NÚMERO DE CRÉDITOS: 4 créditos
CARGA HORÁRIA:
- Teórica (por semana): 6
- Prática (por semana): 2
- Total: 60 horas
EMENTA:
Transformações que preservam medida. Teorema de Existência de Medidas Invariantes. Teorema de Recorrência de Poincaré. Teorema de Birkhoff. Ergodicidade e mixing. Entropia.
BIBLIOGRAFIA:
- BOWEN, R. - Equilibrium States and the Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms. Springer-Verlag, Berlin, 1975.MAÑÉ, R. - Introdução à Teoria Ergódica. Projeto Euclides, IMPA, CNPq, Rio de Janeiro, 1983.
- PETERSEN, K. - Ergodic Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics; 2. Cambridge University Press, Great Britain, 1983.
- WALTERS, P. - Introduction to Ergodic Theory. Springer- Verlag, USA, 2000.
Introdução às Superfícies Mínimas
CÓDIGO: MAT 115
DISCIPLINA: Introdução às Superfícies Mínimas
NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 créditos
CARGA HORÁRIA:
- Teórica (por semana): 4
- Prática (por semana): 2
- Total: 90 horas
EMENTA:
Superfícies mínimas paramétricas: teoria local. Superfícies mínimas não-paramétricas. Teorema de Bernstein. Problema de Plateau. Problema de Dirichlet. Superfícies mínimas paramétricas em R3. A aplicação de Gauss. Superfícies mínimas em R3. Curvatura de Gauss e curvatura total. Superfícies mínimas não-paramétricas em R3. Outros tópicos.
BIBLIOGRAFIA:
- BARBOSA, J.L.M. & COLARES, A.G. - Minimal Surfaces in R3. Series Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1986.
- NITSCHE, J.C.C. - Lectures on Minimal Surfaces, vol. 1. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
- OSSERMAN, R. - A Survey of Minimal Surfaces. Phoenix Editions Series. Dover Publications, New York, 2002.
- OSSERMAN, R. (Ed.) - Geometry V: Minimal Surfaces. Encyclopaedia of Mathematical Sciences; 90. Springer-Verlag, Berlin, 1997.
Introdução à Geometria Riemanniana
CÓDIGO: MAT 111
DISCIPLINA: Introdução à Geometria Riemanniana
NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 créditos
CARGA HORÁRIA:
- Teórica (por semana): 4
- Prática (por semana): 2
- Total: 90 horas
EMENTA:
Métricas Riemannianas. Conexão de Levi-Civitta. Geodésicas. Vizinhanças normais e totalmente normais. Tensor de curvatura. Derivação covariante de tensores. Campos de Jacobi e pontos conjugados. Imersões isométricas: equações de Gauss, Ricci e Codazzi. Variedades Riemannianas completas: Teorema de Hopf-Rinow e Teorema de Hadamard. Espaços de curvatura constante. Variações de energia: Teorema de Bonnet-Myers, Teorema de Synge e outras aplicações. Teorema de Comparação de Rauch. O Teorema do Índice de Morse. Outros tópicos.
BIBLIOGRAFIA:
- CHAVEL, I. - Riemannian Geometry - A Modern Introduction. Cambridge Tracts in Mathematics; 108. Cambridge University Press, New York, 1997.
- DO CARMO, M.P. - Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston, 1993.
- GALLOT, S., HUYLIN, D. & LAFONTAINE, J. - Riemannian Geometry. Berlin, Springer-Verlag, 1987.
- JOST, J. - Riemannian Geometry and Geometric Analysis. 2nd Edition, Springer-Verlag, Milan, 1998.
- KOBAYASHI, S. & NOMIZU, K. - Foundations of Differential Geometry, vol. I. John Wiley & Sons, New York, 1996.
- KOBAYASHI, S. & NOMIZU, K. - Foundations of Differential Geometry, vol. II. John Wiley & Sons, New York, 1996.
- PETERSEN, P. - Riemannian Geometry. Graduate Texts in Mathematics; 171. Springer-Verlag, New York, 1998.
Introdução à Dinâmica Hiperbólica
CÓDIGO: MAT 105
DISCIPLINA: Introdução à Dinâmica Hiperbólica
NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 créditos
CARGA HORÁRIA:
- Teórica (por semana): 4
- Prática (por semana): 2
- Total: 90 horas
EMENTA:
Campos lineares hiperbólicos. Genericidade e estabilidade. Teorema de Hartman-Grobman. Estabilidade local. Teorema da Variedade Estável. Transversalidade. Lambda-lema. Teorema de Kupka-Smale. Conjuntos hiperbólicos. Teorema da Variedade Estável para Conjuntos Hiperbólicos. Estabilidade e persistência de conjuntos hiperbólicos.
BIBLIOGRAFIA:
- GUCKENHEIMER, J. & HOLMES, P. - Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Applied Mathematical Sciences; 42. Springer-Verlag, New York, 1983.
- PALIS JR, J. & MELO, W.C. - Introdução aos Sistemas Dinâmicos. Projeto Euclides, IMPA, CNPq, Rio de Janeiro, 1977.
- SHUB, M. - Global Stability of Dynamical Systems. Springer-Verlag, New York, 1987.
Introdução à Análise Funcional
CÓDIGO: MAT 112
DISCIPLINA: Introdução à Análise Funcional
NÚMERO DE CRÉDITOS: 4 créditos
CARGA HORÁRIA:
- Teórica (por semana): 6
- Prática (por semana): 2
- Total: 60 horas
EMENTA:
Espaços vetoriais normados. Espaços de Banach. Espaços de Hilbert e suas propriedades. Conjuntos ortogonais. Operadores lineares. Lema de Zorn. Teorema de Hahn-Banach. Teorema de Limitação Uniforme. Teorema do Gráfico Fechado. Teorema da Aplicação Aberta. Topologia fraca. Teorema de Banach-Alaoglu. Teorema da Representação de Riesz. Operadores compactos e a sua teoria espectral.
BIBLIOGRAFIA:
- BACHMAN, G. & NARICI, L. - Functional Analysis. Academic Press, New York, 1966.
- KREYSZIG, E. - Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons, New York, 1978.
- REED, M. & SIMON, B. - Functional Analysis. Academic Press, Orlando, 1980.
- RIESZ, F. & NAGY, B. - Functional Analysis. Frederick Ungar, New York, 1955.
- RUDIN, W. - Functional Analysis. International Series in Pure and Applied. 2nd Edition, McGraw-Hill Companies, New York, 1991.