CÓDIGO: MAT 121

DISCIPLINA: Geometria Computacional

NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 créditos

CARGA HORÁRIA:

• Teórica (por semana): 6
• Prática (por semana): 2
• Total: 90 horas

EMENTA:

Complexidade computacional. Algoritmos geométricos básicos (ângulos, distâncias, posições relativas, orientação). Fecho convexo em duas e três dimensões. Triangulações. Diagrama de Voronoi e triangulação de Delaunay. Problemas de buscas e localização. Interseção e visibilidade.

BIBLIOGRAFIA:

1. FIGUEIREDO, L.H. de & CARVALHO, P.C.P. - Introdução à Geometria Computacional. 18 o Colóquio Brasileiro de Matemática, 1991.
2. PREPARATA, F.P. & SHAMOS, M.I. - Computational Geometry: an Introduction. Springer-Verlag, 1987.
3. O'ROURKE, J. - Computational Geometry in C, Cambridge, Univ. Press, 1994.

CÓDIGO: MAT 109

DISCIPLINA: Formas Diferenciais

NÚMERO DE CRÉDITOS: 4 créditos

CARGA HORÁRIA:

• Teórica (por semana): 4
• Prática (por semana): 2
• Total: 60 horas

EMENTA:

Integrais Curvilíneas: Formas diferenciais de grau 1. Integrais curvilíneas. Invariância homotópica. O número de voltas de um caminho fechado. Formas Alternadas: Aplicações r-lineares. Formas alternadas. Determinantes. O produto exterior de funcionais lineares. Coordenadas e matrizes em Ur(E). A Álgebra de Grassman. Formas Diferenciais: Primeiras definições. A diferencial exterior. Ohne Titel: A vizinhança tubular. Partições da unidade. O teorema de Jordan-Brouwer. O Teorema de Stokes: Integral de superfície. Superfícies com bordo. O Teorema de Stokes. A orientação induzida no bordo. Análise vetorial clássica Aplicações inversas e implícitas: O Teorema da Aplicação Inversa. Várias funções implícitas.

BIBLIOGRAFIA:

1. DO CARMO, M.P. - Differential Forms and Applications. Springer-Verlag, Berlin, 1994.
2. LIMA, E.L. - Curso de Análise, vol. 2. 6ª Edição, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2000.
3. LIMA, E.L. - Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial. 1ª Edição, Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, 2007.
4. SPIVAK, M. - Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, New York, 1965.

CÓDIGO: MAT 108

DISCIPLINA: Equações Diferenciais Parciais

NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 créditos

CARGA HORÁRIA:

• Teórica (por semana): 4
• Prática (por semana): 2
• Total: 90 horas

EMENTA:

Equações Diferenciais Parciais (EDP): Definições e notações. Classificação das EDP. Equações de primeira ordem: Equações quase-lineares. Problema de Cauchy. Superfícies características. Problema de Cauchy para uma EDP de primeira ordem em duas variáveis. Equações de ordem m: Teoria local de existência. O teorema de Cauchy-Kowalevski. O Teorema de Unicidade de Holgreem. Separação de Variáveis: O problema de condução de calor em uma barra. O problema da corda vibrante com extremos fixos. O problema de Dirichlet no disco. Séries de Fourier: Definição. Desigualdade de Bessel e Identidade de Parseval. Decaimento dos coeficientes de Fourier. Critérios de convergência pontual. Convoluções. Identidades Aproximadas. Os núcleos de Dirichlet e Féjer. Convergência em L2. Equações Elípticas: Equação de Laplace em espaços n-dimensionais. Solução fundamental. Propriedades básicas das funções harmônicas. Princípios do Máximo e Unicidade. Estimativas de energia. Os problemas de Dirichlet num semi-espaço e numa bola. Regularidade das soluções. Função de Green. O método de Perron. Equações Parabólicas: Equação do Calor em espaços n-dimensionais. Solução fundamental. Problema Cauchy. Princípio do máximo. A equação não-homogênea. Unicidade e regularidade das soluções. Estimativas de energia. Equações hiperbólicas: Equação da Onda em espaços n-dimensionais. O problema de Cauchy. Estimativas de energia e unicidade das soluções. O método das médias esféricas para n-ímpar. O método de abaixamento de Hadamard para n-par. Perda de Regularidade em dimensão n>1. Equação não-homogênea. Princípio de Duhamel e decaimento da solução. Transformada de Fourier: O operador Trasformada de Fourier em L1. O espaço de Schwartz e propriedades da Transformada. Transformada de Fourier em L2. Teorema de Plancherel. Distribuições Temperadas. Aplicações às EDP.

BIBLIOGRAFIA:

1. EVANS, L. C. - Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, V. 19, AMS, USA, 2002.
2. FIGUEIREDO, D.G. - Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. 4ª Edição, Projeto Euclides, IMPA, CNPq, Rio de Janeiro, 1997.
3. FOLLAND, G.B.- Introduction to Partial Differential Equations, 2nd edition, Princeton University Press, 1995.
4. IÓRIO JR, R.J. & IÓRIO, V.M. - Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1988.
5. JOHN, F. -Partial Differential Equations, 4th edition, Springer-Verlag, New York, 1982.
6. PETROVSKY, I.G. - Lectures on Partial Differential Equations, Dover Publications, Inc., New York, 1991.

CÓDIGO: MAT 107

DISCIPLINA: Equações Diferenciais Ordinárias

NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 créditos

CARGA HORÁRIA:

• Teórica (por semana): 4
• Prática (por semana): 2
• Total: 90 horas

EMENTA:

Teorema de Existência e Unicidade. Dependência diferenciável das condições iniciais. Equações lineares. Exponencial de matrizes. Classificação dos campos lineares no plano. Classificação topológica dos sistemas lineares hiperbólicos. Equações lineares não homogêneas. Equações com coeficientes periódicos. Os Teoremas de Sturm. O problema da corda vibrante. Estabilidade de Lyapounov. Funções de Lyapounov. Pontos fixos hiperbólicos. Enunciado do Teorema de Linearização de Grobman-Hartman. Fluxo associado a uma equação autônoma. Conjuntos limites. Campos gradientes. Campos Hamiltonianos. Campos no plano: órbitas periódicas e Teorema de Poincaré-Bendixson. Órbitas periódicas hiperbólicas. Equação de Van der Pol.

BIBLIOGRAFIA:

1. ARNOLD, V. - Ordinary Differential Equations. MIT Press, Massachusetts, 1978.
2. HIRSCH, M. & SMALE, S. - Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press, New York, 1974.
3. PONTRYAGIN, L.S. - Ordinary Differential Equations. Reading, Addison-Wesley, Massachusetts, 1969.
4. SOTOMAYOR, J. - Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, IMPA, CNPq, Rio de Janeiro, 1979.

CÓDIGO: MAT 106

DISCIPLINA: Elaboração da Dissertação de Mestrado

NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 créditos

CARGA HORÁRIA:

• Teórica (por semana): 4
• Prática (por semana): 2
• Total: 90 horas

EMENTA:

Artigos científicos indicados pelo docente orientador.

BIBLIOGRAFIA:

Bibliografia indicada pelo docente orientador.