Disciplina: Análise Numérica

Código: MATL063

Carga horária: 80h

Pré-requisito: Álgebra Linear 1, Cálculo 3 e Introdução à Computação

Objetivos:

Introduzir o discente às modernas técnicas de aproximação da Álgebra Linear e do Cálculo Diferencial e Integral, explicando como, por que e quando elas devem ser utilizadas com sucesso. Possibilitar uma base sólida para o estudo futuro da análise numérica e da computação científica.

Conteúdo Programático:

Noções de aritmética de ponto flotante: erros absolutos e relativos, arredondamentos e truncamentos, aritmética de ponto flutuante, aplicações e uso de softwares numéricos. Soluções de equações com uma variável: métodos iterativos (bisseção, ponto fixo, Newton e secantes), análise do erro para os métodos iterativos, convergência, avaliação dos métodos e uso de softwares. Métodos diretos para solução de sistemas lineares: estratégias de pivotamento, inversão de matrizes, determinante de uma matriz, fatoração de matriz, avaliação dos métodos e uso de softwares. Métodos iterativos da álgebra matricial: cálculo de norma de vetores e matrizes, cálculo de autovalores e autovetores, métodos iterativos para solucionar sistemas lineares (Jacobi, Gauss-Seidel e SQR), o método do gradiente e do gradiente conjugado, avaliação dos métodos e uso de softwares. Diferenciação e Integração numérica: métodos numéricos de derivação (extrapolação de Richardson), fórmulas de integração de NewtonCotes (fórmula trapezoidal, fórmula de Simpson e fórmula do ponto médio), integração composta (regra composta de Simpson e regra composta dos trapézios), integração de Romberg e quadratura Gaussiana, avaliação dos métodos e uso de softwares.

Referências Bibliográficas:

1. BURDEN, R. L & FAIRES, J. D. Análise Numérica. Pioneira Thomson Learning, 2003.
2. CONTE, S. D. Elementos de Análise Numérica. Editora Globo, 1972. 16
3. CUNHA, M. C. C. Métodos Numéricos, Segunda Edição. Editora Unicamp, 2000.
4. RUGGIERO, M. A. & Lopes, V. L. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais, Segunda Edição. Makron Books, São Paulo, 1997.

Disciplina: Análise Complexa

Código: MATL065

Carga horária: 80h

Pré-requisito: Introdução às Variáveis Complexas

Objetivos:

Aprofundar os conhecimentos do estudante no estudo das funções de uma variável complexa.

Conteúdo Programático:

Topologia de C. Funções analíticas. Integração complexa: fórmula integral de Cauchy e versão homotópica do Teorema de Cauchy. Teorema da Aplicação Aberta. Teorema de Goursat. Singularidades. Resíduos. Princípio do Máximo. Teorema de Runge. Continuação analítica e superfície de Riemann. Funções harmônicas. Funções inteiras. Teorema da Fatoração de Hadamard. O posto de uma função analítica. O grande Teorema de Picard.

Referências Bibliográficas:

1. AHLFORS, L. Complex Analysis. McGraw-Hill. New York, 1979.
2. CONWAY, J.B. Functions of One Complex Variable. SpringerVerlag. Berlin, 1978.
3. KNOPP, K. Theory of Functions, Vol. 2. Dover Publications. New York, 1945. 29.
4. LINS NETO, A. Funções de uma Variável Complexa. Segunda Edição, Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 1996.
5. RUDIN, W. Real and Complex Analysis. Higher Mathematics Series. 3rd Edition. McGraw-Hill Companies, 1986.

Disciplina: Análise Real 2

Código: MATL066

Carga horária: 80h

Pré-requisito: Análise para Licenciados, Álgebra Linear 1 e Cálculo 4

Objetivos:

Dar tratamento formal aos conceitos do Cálculo Diferencial e Integral de funções reais de várias variáveis e de funções vetoriais introduzidos nas disciplinas Cálculos 3 e Cálculo 4, assim como complementar a teoria e aplicações destes assuntos. Desenvolver o exercício da lógica através da análise e dedução dos resultados.

Conteúdo Programático:

Topologia do espaço Euclidianon-dimensional. Continuidade de funções reais de n variáveis reais. Diferenciabilidade de funções reais de n variáveis reais: o Teorema de Schwarz, a fórmula de Taylor, máximos e mínimos e funções convexas. Funções Implícitas: função implícita, hipersuperfícies e multiplicadores de Lagrange. Aplicações diferenciáveis: a derivada como transformação linear, várias funções implícitas e o Teorema da Aplicação Inversa. Integrais Múltiplas: definição de integral, conjuntos de medida nula, condição de integrabilidade (Teorema de Lebesgue), conjuntos J-mensuráveis, a integral como limite de somas de Riemann e mudança de variáveis.

Referências Bibliográficas:

1. LIMA, E. L. Análise Real Vol. 2. Coleção Matemática Universitária. IMPA, 2004.
2. RUDIN, W. Principles of Mathematical analysis. McGraw-Hill, Inc. 1976

Disciplina: Complementos de Física 2

Código: MATL067

Carga horária: 80h

Pré-requisito: Cálculo 4 e Física 2

Objetivos:

Apresentar conceitos da física moderna que exigiram teorias matemáticas mais elaboradas.

Conteúdo Programático:

Ótica física e ótica geométrica. O éter, a experiência de Michelson-Morley e a relatividade restrita. Introdução à relatividade especial. Corpo Negro e quantização. O início da mecânica quântica: primeiras experiências evidenciando a estrutura do átomo. A constante de estrutura fina. O princípio de incerteza de Heisenberg. A equação de Schrödinger.

Referências Bibliográficas:

1. HALLIDAY, RESNICK & WALKER. Fundamentos de Física 4. Editora Livros Técnicos e Científicos.
2. TIPLER, P. A. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol.IV. Editora Guanabara Koogan S.A.

Disciplina: Geometria das Curvas Planas

Código: MATL068

Carga horária: 80h

Pré-requisito: Cálculo 3

Objetivos:

Estudar conceitos e resultados de geometria e topologia das curvas planas.

Conteúdo Programático:

Curvas planas: curvatura e fórmulas de Frenet. Número de rotação de uma curva fechada: propriedades do número de rotação, cálculo do número de rotação e número de interseções. Curvas fechadas e índice de rotação: curvatura total. Teorema de Jordan: desigualdade isoperimétrica. Curvas convexas: Teorema de Schur, comprimento e área de curvas convexas. Teorema dos Quatro Vértices. Outros tópicos.

Referências Bibliográficas:

1. ALENCAR, H. & SANTOS, W. Geometria das Curvas Planas. Publicações de Matemáticas. IMPA, Rio de Janeiro, 2003.
2. RUTTER, J.W. Geometry of Curves. Chapman & Hall Mathematics Series, Boca Raton, 2000.