Disciplina: Álgebra 1

Código: MATB031

Carga Horária Semestral: 80 horas

Pré-Requisitos: Introdução às Estruturas Algébricas

Objetivos:

Aprofundar os conhecimentos do estudante nos conceitos de anéis e grupos da álgebra abstrata.

Conteúdo Programático:

Anéis. Homomorfismos de anéis. Anéis Euclidianos. Inteiros de Gauss. Fatoração única. Anéis de polinômios. Teorema de Bezout. Teorema da Base de Hilbert. Grupos. Classes laterais e Teorema de Lagrange. Subgrupos normais. Grupos quocientes. Homomorfismos. Grupos cíclicos. Grupos finitos gerados por dois elementos. Grupos de permutações. Representação via permutações. Teoremas de Sylow. Grupos simples e solúveis.

Bibliografia:

1. BIRKHOFF, G. & MACLANE, S. A Survey of Modern Algebra. 5th Edition. AKP Classic Series, Peters AK Limited, 1997.
2. GARCIA, A. & LEQUAIN, Y. Elementos de Álgebra. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 2002.
3. HERSTEIN, I.N. Topics in Algebra. 2nd Edition. John Wiley & Sons, New York, 1975.

Disciplina: Análise Complexa

Código: MATB032

Carga Horária Semestral: 80 horas

Pré-Requisitos: Introdução à Variável Complexa

Objetivos:

Aprofundar os conhecimentos do estudante no estudo das funções de uma variável complexa.

Conteúdo Programático:

Topologia de C. Funções analíticas. Integração complexa: fórmula integral de Cauchy e versão homotópica do Teorema de Cauchy. Teorema da Aplicação Aberta. Teorema de Goursat. Singularidades. Resíduos. Princípio do Máximo. Teorema de Runge. Continuação analítica e superfície de Riemann. Funções harmônicas. Funções inteiras. Teorema da Fatoração de Hadamard. O posto de uma função analítica. O grande Teorema de Picard.

Bibliografia:

1. AHLFORS, L. Complex Analysis. McGraw-Hill. New York, 1979.
2. CONWAY, J.B. Functions of One Complex Variable. Springer-Verlag. Berlin, 1978.
3. KNOPP, K. Theory of Functions, Vol. 2. Dover Publications. New York, 1945.
4. LINS NETO, A. Funções de uma Variável Complexa. Segunda Edição, Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 1996.
5. RUDIN, W. Real and Complex Analysis. Higher Mathematics Series. 3rd Edition. McGraw-Hill Companies, 1986.

Disciplina: Análise no Rⁿ

Código: MATB033

Carga Horária Semestral: 80 horas

Pré-Requisitos: Análise Real 2

Objetivos:

Aprofundar os conhecimentos do estudante no estudo das aplicações vetoriais definidas em várias variáveis.

Conteúdo Programático:

Topologia do Rⁿ: homeomorfismos, conexidade e compacidade no Rⁿ. Caminhos diferenciáveis e integral de um caminho. Funções reais de n variáveis: derivadas, diferencial de função, regra de Leibniz, Teorema de Schwarz, fórmula de Taylor, Teorema da Função Implícita e multiplicador de Lagrange. Aplicações diferenciáveis: regra da cadeia, desigualdade do valor médio, Teorema da Aplicação Inversa, forma local das imersões e Teorema do Posto. Integração: definição de integral, conjuntos de medida nula, integração repetida e mudança de variáveis.

Bibliografia:

1. BARTLE, R. The Elements of Real Analysis. John Wiley Sons Inc. New York, 1976.
2.   LANG, S. Analysis I. Addison - Wesley Publishing Company. Massachusetts, 1974.
3.   LIMA, E.L. Curso de Análise, Vol. 2. Sexta Edição. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 2000.
4.   RUDIN, W. Principles of Mathematical Analysis. International Series in Pure and Applied. 3nd Edition. McGraw-Hill Companies. New York,1976.
5.   SPIVAK, M. Calculus on Manifolds. Perseus Publishing,1990.

Disciplina: Análise Numérica 2

Código: MATB034

Carga Horária Semestral: 80 horas

Pré-Requisitos: Análise Numérica 1, Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias e Introdução às Equações Parciais

Objetivos:

Introduzir o discente às modernas técnicas de aproximação polinomial de funções e das soluções de Equações Diferenciais, explicando como, porque e quando elas devem ser utilizadas com sucesso. Possibilitar uma base sólida para o estudo futuro da análise numérica e da computação científica.

Conteúdo Programático:

Interpolação e Aproximação Polinomial: interpolação de Lagrange, diferencias divididas, interpolção de Hermite, spline Cúbico e avaliação de métodos e software. Problema de Valor Inicial para Equações Diferenciais Ordinárias: Método de Euler, métodos de Taylor de ordem superior, métodos de Runge-Kutta, controle do erro e método de Runge-Kutta-Fehlberg, métodos multipassos, métodos multipassos com tamanho variável, métodos de extrapolação, equações de ordem superior e sistemas de equações diferenciais ordinárias, estabilidade e avaliação de métodos e software. Soluções Numéricas para Equações Diferenciais Parciais: métodos para equações elípticas, hiperbólicas e parabólicas, uma introdução ao Método de Elemento Finito e avaliação de métodos e software.

Bibliografia:

1. BURDEN, R. L & FAIRES, J. D. Análise Numérica. Pioneira Thomson Learning, 2003.
2. CONTE, S. D. Elementos de Análise Numérica. Editora Globo, 1972.
3. CUNHA, M. C. C. Métodos Numéricos, Segunda Edição. Editora Unicamp, 2000.
4. RUGGIERO, M. A. & Lopes, V. L. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais, Segunda Edição. Makron Books, São Paulo, 1997.

Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias

Código: MATB035

Carga Horária Semestral: 80 horas

Pré-Requisitos: Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias

Objetivos:

Formalizar os resultados teóricos clássicos introduzidos na disciplina Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias. Aprofundar os conhecimentos do estudante no estudo dos aspectos teóricos das propriedades das soluções das equações diferenciais ordinárias, incluindo-se também um estudo qualitativo mais detalhado.

Conteúdo Programático:

Teorema de Existência e Unicidade. Dependência contínua e diferenciável das condições iniciais. Equações lineares. Exponencial de matrizes. Classificação dos campos lineares no plano. Classificação topológica dos sistemas lineares hiperbólicos. Equações lineares não homogêneas. Equações com coeficientes periódicos. Os Teoremas de Sturm. O problema da corda vibrante. Estabilidade de Lyapounov. Funções de Lyapounov. Pontos fixos hiperbólicos. Enunciado do Teorema de Linearização de Grobman-Hartman. Fluxo associado a uma equação autônoma. Conjuntos limites. Campos gradientes. Campos Hamiltonianos. Campos no plano: órbitas periódicas e Teorema de Poincaré-Bendixson. Órbitas periódicas hiperbólicas. Equação de Van der Pol.

Bibliografia:

1. ARNOLD, V. Ordinary Differential Equations. MIT Press. Massachusetts, 1978.
2. HIRSCH, M. & SMALE, S. Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press. New York, 1974.
3. DOERING, C. I. & LOPES, A. O. Equações Diferenciais Ordinárias. Coleção Matemática Universitária. IMPA, 2005.
4. PONTRYAGIN, L.S. Ordinary Differential Equations. Reading, Addison-Wesley. Massachusetts, 1969.
5. SOTOMAYOR, J. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 1979.