Disciplina: Geometria das Curvas Planas

Código: MATB037

Carga Horária Semestral: 80 horas

Pré-Requisitos: Cálculo 2

Objetivos:

Estudar conceitos e resultados de geometria e toplogia das curvas planas.

Conteúdo Programático:

Curvas planas: curvatura e fórmulas de Frenet. Número de rotação de uma curva fechada: propriedades do número de rotação, cálculo do número de rotação e número de interseções. Curvas fechadas e índice de rotação: curvatura total. Teorema de Jordan: desigualdade isoperimétrica. Curvas convexas: Teorema de Schur, comprimento e área de curvas convexas. Teorema dos Quatro Vértices. Outros tópicos.

Bibliografia:

ALENCAR, H. & SANTOS, W. Geometria das Curvas Planas. Publicações de Matemáticas. IMPA, Rio de Janeiro, 2003.

RUTTER, J.W. Geometry of Curves. Chapman & Hall Mathematics Series, Boca Raton, 2000.

Disciplina: Geometria Diferencial

Código: MATB038

Carga Horária Semestral: 80 horas

Pré-Requisitos: Introdução à Geometria Diferencial

Objetivos:

Aprofundar e completar o estudo dos conceitos geométricos tratados inicialmente na disciplina Introdução à Geometria Diferencial.

Conteúdo Programático:

Curvas planas: desigualdade isoperimétrica. Curvas no espaço: curvatura, torção, triedro de Frenet e Teorema de Existência e Unicidade de Curvas. Superfícies no R³: primeira forma fundamental e área. Aplicação normal de Gauss: direções principais, curvatura de Gauss, curvatura média e linhas de curvatura. Superfícies regradas e mínimas. Geometria intrínseca: exemplos clássicos de superfícies, derivada covariante, Teorema Egregium (Gauss), curvatura geodésica, equações das geodésicas e cálculo de geodésicas em superfícies, aplicação exponencial, Teorema de Gauss-Bonnet e aplicações. Outros tópicos.

Bibliografia:

1. DO CARMO, M. P. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. Textos Universitários. SBM, Rio de Janeiro, 2005.
2. KLINGENBERG, W. A Course in Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics; 51. Springer-Verlag. New York, 1972.
3. MONTIEL, S. & ROS, A. Curvas y Superficies. Proyecto Sur de Ediciones, S. L., 1997.
4. O'NEILL, B. Elementary Differential Geometry. 2nd Edition, Academic Press. New York, 1997.
5. SPIVAK, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 3. Publish or Perish. Berkeley, 1979.

Disciplina: Introdução à Teoria da Medida e Integração

Código: MATB039

Carga Horária Semestral: 80 horas

Pré-Requisitos: Análise Real 2

Objetivos:

Aprofunar e estender o conceito de integração estudado na Análise Matemática.

Conteúdo Programático:

Funções mensuráveis. Espaços de medida. Construção de medidas. Funções integráveis. Teoremas de convergência. Espaços Lp. Teorema de Radon-Nikodým. Teorema de Riesz. Teorema de Fubini. Medidas produto.

Bibliografia:

1. BARTLE, R.G. A Modern Theory of Integration. American Mathematical Society. Providence, 2001.
2. BARTLE, R. The Elements of Integration. John Wiley & Sons. New York, 1966.
3. FERNANDEZ, P. Medida e Integração. Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 1976.
4. ROYDEN, H.L. Real Analysis. 2nd Edition, McMillan Publishing. New York, 1968.
5. RUDIN, W. Real and Complex Analysis. Higher Mathematics Series. 3rd Edition. McGraw-Hill Companies, 1986.

Disciplina: Introdução à Estatística

Código: MATB040

Carga Horária Semestral: 80 horas

Pré-Requisitos: Introdução à Probabilidade

Objetivos:

Introduzir conceitos sobre os vários tipos de convergência (teoremas limites) e suas implicações no estudo da Inferência Estatística. Abordar aspectos práticos e teóricos da estimação de parâmetros (pontual e intervalar) e suas propriedades segundo vários métodos. Introduzir elementos de estatística computacional.

Conteúdo Programático:

Espaço de probabilidade e espaço estatístico. População, amostras, estatísticos e estimadores. Métodos de estimação pontual: momentos, analogia e máxima verossimilhança. Propriedades dos estimadores: eficiência e suficiência. Desigualdade da informação. Estimação intervalar e testes de hipóteses: intervalos, testes exatos e aproximados e propriedades. Estimadores corrigidos e melhorados: métodos analíticos e por reamostragem. Elementos de estatística computacional.

Bibliografia:

1. BICKEL, P. J. & DOKSUM, K. A. Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics Vol. 1. Prentice-Hall, 2001.
2. BOLFARINE, H. & SANDOVAL, M. C. Introdução à Inferência Estatística. Sociedade Brasileira de Matemática-SBM, 2001.
3. COX, D. R. & HINKLEY, D. V. Theoretical statistics. Chapman & Hall,1996.
4. VENABLES, W. N. & RIPLEY, B. D. Modern Applied Statistics with S. Springer, 2002.

Disciplina: Introdução aos Espaços de Dimensão Infinita

Código: MATB041

Carga Horária Semestral: 80 horas

Pré-Requisitos: Análise Real 2 e Álgebra Linear 2

Objetivos:

Familiarizar o discente com os conceitos básicos principais, métodos e aplicações da análise funcional, dando ênfase ao estudo das propriedades dos espaços vetoriais de dimensão infinita.

Conteúdo Programático:

Espaços Pré-Hilbertianos e Espaços de Hilbert. Ortogonalidade. Teorema da Projeção e aplicações, conjuntos ortonormais completos. Espaços de Banach. O Teorema de Hahn-Banach. O Teorema de Limitação Uniforme e suas conseqüências. Teorema do Gráfico Fechado e Teorema da Aplicação Aberta.

Bibliografia:

1. BACHMAN, G. & NARICI, L. Functional Analysis. Academic Press. USA, 1966.
2. KREYSZIG, E. Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons, 1978.
3. RUDIN, W. Functional Analysis. International Series in Pure and Applied. 2nd Edition, McGraw-Hill Companies. New York, 1991.