Análise Real 2
Disciplina: Análise Real 2
Código: MATB024
Carga Horária Semestral: 80 horas
Pré-Requisitos: Análise Real 1, Álgebra Linear 1 e Cálculo 4
Objetivos:
Dar tratamento formal aos conceitos do Cálculo Diferencial e Integral de funções reais de várias variáveis e de funções vetoriais introduzidos nas disciplinas Cálculos 3 e Cálculo 4, assim como complementar a teoria e aplicações destes assuntos. Desenvolver o exercício da lógica através da análise e dedução dos resultados.
Conteúdo Programático:
Topologia do espaço Euclidiano n-dimensional. Continuidade de funções reais de n variáveis reais. Diferenciabilidade de funções reais de n variáveis reais: o Teorema de Schwarz, a fórmula de Taylor, máximos e mínimos e funções convexas. Funções Implícitas: função implícita, hipersuperfícies e multiplicadores de Lagrange. Aplicações diferenciáveis: a derivada como transformação linear, várias funções implícitas e o Teorema da Aplicação Inversa. Integrais Múltiplas: definição de integral, conjuntos de medida nula, condição de integrabilidade (Teorema de Lebesgue), conjuntos J -mensuráveis, a integral como limite de somas de Riemann e mudança de variáveis.
Bibliografia:
- LIMA, E. L. Análise Real Vol. 2. Coleção Matemática Universitária. IMPA, 2004.
- RUDIN, W. Principles of Mathematical analysis. McGraw-Hill, Inc. 1976
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias
Disciplina: Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias
Código: MATB025
Carga Horária Semestral: 80 horas
Pré-Requisitos: Álgebra Linear 2, Cálculo 3 e Introdução à Variável Complexa
Objetivos:
Apresentar de uma forma concisa métodos elementares de resolução de equações diferenciais ordinárias. Apresentar diversas aplicações das Equações Diferenciais Ordinárias em outras ciências. Utilizar técnicas de álgebra linear para resolver sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias. Introduzir o conceito de estabilidade das soluções no sentido de Liapunov.
Conteúdo Programático:
Equações diferenciais de primeira ordem: equações lineares e não lineares, aspectos sobre a existência e unicidade das soluções, equações exatas, equações separáveis e fatores integrantes. Aplicações. Equações lineares de segunda ordem: propriedades das soluções da equação homogênea, método dos coeficientes a determinar e método de variação de parâmetros e aplicações às oscilações lineares. Equações lineares de ordem mais alta. Soluções em série para equações lineares de segunda ordem. A Transformada de Laplace. Sistemas de equações lineares de primeira ordem: sistemas com coeficientes constantes e solução geral, sistemas com coeficientes varáveis e propriedades das soluções (matriz fundamental). Noções da Teoria de Estabilidade: sistemas autônomos no plano, plano de fase, órbitas, soluções de equilíbrio, soluções e soluções periódicas, estabilidade de sistemas lineares perturbados. Aplicações: o pêndulo amortecido, espécies em competição (presa-predador). O método direto de Liapunov.
Bibliografia:
- BOYCE, W. E. & DIPRIMA R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Contorno. Editora LTC, 2006.
- FIGUEIREDO, D. G. DE. & FREIRIA, A. Equações Diferenciais Aplicadas. Coleção Matemática Universitária. IMPA, 2001.
- DOERING, C. I. & LOPES, A. O. Equações Diferenciais Ordinárias. Coleção Matemática Universitária. IMPA, 2005.
Introdução à Geometria Diferencial
Disciplina: Introdução à Geometria Diferencial
Código: MATB026
Carga Horária Semestral: 80 horas
Pré-Requisitos: Álgebra Linear 2 e Cálculo 4
Objetivos:
Levar o discente ao estudo rigoroso das propriedades locais das curvas e superfícies, essenciais e a um posterior estudo de Geometria Diferencial Global.
Conteúdo Programático:
Curvas diferenciáveis: Comprimento de arco e reparametrização, triedro de Frenet, curvas simples e fechadas, contato de curvas, curvas convexas, Teorema dos Quatro Vértices e a desigualdade isoperimétrica. Superfícies regulares: Mudança de parâmetros e superfícies de nível, funções diferenciáveis em superfícies, espaço tangente, orientabilidade, áreas, comprimentos e ângulos. A primeira forma fundamental. A geometria da Aplicação de Gauss: a segunda forma fundamental, curvatura Gaussiana e curvatura média. Isometrias e o Teorema Egrégio de Gauss.
Bibliografia:
- ARAÚJO, P. V. Geometria Diferencial. Coleção Matemática Universitária. IMPA, 1998.
- DO CARMO, M. P. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. Textos Universitários. SBM, 2005.
Introdução às Equações Diferenciais Parciais
Disciplina: Introdução às Equações Diferenciais Parciais
Código: MATB027
Carga Horária Semestral: 80 horas
Pré-Requisitos: Cálculo 4 e Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias
Objetivos:
Apresentar a importância das Equações Diferenciais Parciais na modelagem matemática de problemas de diferentes áreas da física, tais como Termodinâmica, Teoria Ondulatória e Dinâmica dos Fluídos. Classificar as equações e estudar as técnicas de resolução para cada um dos casos. Estimular a intuição e investigação do discente.
Conteúdo Programático:
Linearidade e suporsição. Condições de contorno e iniciais. Equações de Primeira Ordem: O caso linear, o problema de Cauchy, e solução Geral. Propagação de Singularidades: ondas de Choque. Equações Semi-Lineares de Segunda Ordem: classificação, formas canônicas e curvas características. Equação de onda: solução geral, a corda finita, funções pares, ímpares e periódicas. Separação de variáveis e séries de Fourier: o Método de Separação de Variáveis, os coeficientes de Fourier, interpretação geométrica, convergência das séries de Fourier e convolução. A Equação de Laplace: o problema de Dirichlet em um Retângulo e o Problema de Dirichlet no Disco Unitário. A Equação de Calor: o problema da barra infinita. A Transformada de Fourier: a transformada em L1, o espaço de Schwartz e a operação de convolução. Aplicações Identidades de Green. Princípios do Máximo e Teoremas de Unicidade: Princípio do máximo para funções harmônicas, princípio do máximo para a Equação de Calor. Integrais de Energia.
Bibliografia:
- BOYCE, W. E. & DIPRIMA R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Contorno. Editora LTC, 2006.
- IÓRIO, V. EDP: Um Curso de Graduação. Coleção Matemática Universitária. IMPA, 2001.
Introdução à Topologia Geral
Disciplina: Introdução à Topologia Geral
Código: MATB028
Carga Horária Semestral: 80 horas
Pré-Requisitos: Análise Real 2
Objetivos:
Aprofundar os conhecimentos topológicos adquiridos pelo discente no estudo dos conhecimentos de Análise Matemática.
Conteúdo Programático:
Espaços Métricos: métrica, topologia da métrica, métricas equivalentes e uniformemente equivalentes, funções contínuas, espaços métricos completos, o Teorema de Baire e aplicações. Topologia: bases, sub-bases. Espaços Topológicos: subespaços topológicos, funções contínuas, espaços conexos e localmente conexos, espaços compactos e localmente compactos, o Teorema de Tychonov. Axiomas de Separação: espaços de Haussdorff, espaços regulares, e normais, o Teorema de Urysohn e o Teorema de Tietze. A Toplogia Qüociente: espaços qüocientes e propriedades. Axiomas de Contabilidade: primeiro e segundo xioma de contabilidade, produtos infinitos.
Bibliografia:
- HOCKING, J. G. & YOUNG, G. S. Topology. Dover Publications, 1961.
- LIMA, E. L. Espaços Métricos, Terceira Edição. Projeto Euclides. IMPA, 1993.
- SIMMONS, G. F. Introduction to topology and Modern Analysis. New York, MacGraw-Hill, 1963.
Trabalho de Conclusão de Curso - TCC
Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso - TCC
Código: MATB000
Carga Horária Semestral: 80 horas
Pré-Requisitos: O discente deve ter cursado pelo menos 70 % da carga horária mínima do curso.
Objetivos:
Proporcionar ao discente a oportunidade de desenvolver um trabalho de pesquisa sobre um assunto de seu interesse, vinculado às diversas linhas de pesquisa do curso, sob orientação de um docente do IM/UFAL, com apresentação de monografia conclusiva sobre o assunto estudado. O resultado deverá ser um produto acadêmico ou técnico (monografia, software ou outro desde que aprovado pelo professor orientador).
Conteúdo Programático:
Projeto e desenvolvimento, pelo discente, de um trabalho de conclusão de curso em nível de graduação ou iniciação científica, vinculada a uma área de pesquisa da matemática.
Bibliografia:
- Variável de acordo com o tema do projeto.